Grundlagen Übersicht

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ioBroker – Einführung und Grundlagen

Bei ioBroker handelt es sich um eine OpenSource Internet of Things (iOT) Plattform, mit dem mehrere Smart-Home Systeme verschiedener Hersteller und Standards über eine Plattform verbunden und zentral gesteuert werden können. ioBroker übernimmt dabei die zentrale Rolle eines Servers, der somit verschiedene Komponenten miteinander verbindet.


Wer steht hinter ioBroker?
Hinter der ioBroker-Plattform steht eine OpenSource Community, welche die Plattform betriebt, pflegt und weiterentwickelt. Auf Github kann sich jeder interessierte genauer über das Projekt informieren. Zudem steht für alle Anwender ein großes Forum für Fragen und Probleme zur Verfügung. Die Weiter-Entwicklung der Plattform ist zudem über ein trello-Whiteboard transparent dargestellt.

Integralrechnung

Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin der Analysis. Sie ist aus dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung entstanden.

Das Integral ist ein Oberbegriff für das unbestimmte und das bestimmte Integral. Die Berechnung von Integralen heißt Integration.

Zunächst gehen wir nochmal die Grundlagen der Integralrechnung durch. Im Anschluss werden Flächeninhalte bestimmt und schwierige Integrationsregeln wie z.B. die partielle Integration vorgestellt.

Inhaltsverzeichnis

Stammfunktion bilden

Eine Funktion F ist eine Stammfunktion einer Funktion f, wenn für alle \(x\in\mathbb\) gilt: F'(x)=f(x).

Die Umkehrung des Ableitens ist das Bilden von Stammfunktionen und wird deshalb auch umgangssprachlich Aufleiten genannt.

Wie schon beim Ableiten gibt es auch hier eine Summenregel (= Eine Summe wird „summandenweise“ aufgeleitet) und eine Faktorregel (= Ein konstanter Faktor bleibt beim Aufleiten erhalten).

Übersicht typischer Stammfunktionen in der Integralrechnung

Wenn \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist und \(C\) eine beliebige reelle Zahl (Konstante), dann ist auch \(F(x) + C\) eine Stammfunktion von \(f\). Zum Beispiel sind

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alles Stammfunktionen von \(f(x)=x\). Grundsätzlich lautet die Stammfunktion für \(f(x)=x\) also \(F(x)= \left(\frac<2>\right)+C\). Wenn nur eine Stammfunktion gesucht wird, können wir zur Einfachheit \(C=0\) wählen.

Die Stammfunktion zu der Potenzfunktion
\begin
f(x)=x^n, \quad n \in \mathbb
\end
ermittelt sich allgemein über
\begin
F(x)=\frac<1>x^.
\end

Beim Aufleiten muss der Exponent um 1 erhöht und in den Nenner des Bruchs geschrieben werden!

Wie bereits erwähnt gibt es bei der Integralrechnung auch eine Summenregel, die besagt, dass jeder Summand einzeln integriert wird. Zum Beispiel ist \(F(x)=x^2+3x\) eine Stammfunktion von \(f(x)=2x+3\).

Beispiele zu typischen Stammfunktionen in der Integralrechnung
Bilde eine Stammfunktion der gegebenen Funktionen:

Lösungen zu Stammfunktionen

Schau dir zur Vertiefung Daniels Playlist zum Thema „Stammfunktionen und Aufleiten“ an

Unbestimmtes Integral

Als unbestimmtes Integral bezeichnet man, wie oben bereits angedeutet, die Gesamtheit aller Stammfunktionen F(x)+C einer Funktion f(x). Die Schreibweise für unbestimmte Integrale lautet

Dabei ist \(\int\) das Integrationszeichen und \(f(x)\) der Integrand. Die Variable \(x\) heißt Integrationsvariable und \(C\) ist die Integrationskonstante. Hier zwei Beispiele für unbestimmte Integrale:

\textrmx &= x^2 + C \\
\int x^3

Zur Vertiefung: Lernvideo zum unbestimmten Integral

Bestimmtes Integral

Wenn Integrationsgrenzen angegeben sind, handelt es sich nicht mehr um ein unbestimmtes Integral. Man spricht dann von einem bestimmten Integral, da die Integrationsgrenzen ja angegeben – folglich bestimmt – sind.
Im Gegensatz zum unbestimmten Integral lässt sich ein bestimmtes Integral mit dem Hauptsatz der Integralrechnung lösen!

Als Ergebnis erhält man einen konkreten Zahlenwert.

\begin
\int_a^b f(x)\ \textrmx =\left[F(x)\right]_a^b =(F(b)-F(a))
\end

Beispiel 1
Die Nettozulaufgeschwindigkeit eines Wasserbehälters, d.h. Zulaufgeschwindigkeit minus Ablaufgeschwindigkeit, kann im Zeitraum [0,3] durch die Funktion \(f(t)=t^2-2t\) beschrieben werden, wobei f(t) die Einheit [m\(^3\)/min] hat und t in Minuten gegeben ist.

a) Berechne die Füllmenge des Wasserbehälters nach einer Minute, wenn er zum Zeitpunkt t=0 mit 3m\(^3\) gefüllt war.
b) Berechne die kleinste Wasserfüllmenge im Zeitraum \(t \in [1,2]\).

Lösung Beispiel 1:
a) Die Füllmenge ist die Stammfunktion von f, wobei der Anfangsbestand mit c=3 angegeben ist. Also lautet die Stammfunktion von f und die Füllmenge
\begin
F(t)=\frac<1><3>t^3-t^2+3 \quad \longrightarrow \quad F(1)=\frac<7> <3>\\
\end
nach t=1 Minute \(\longrightarrow \frac<7> <3>m^3\).

b) Die kleinste Wasserfüllmenge ist der Tiefpunkt der Stammfunktion F. Also untersuchen wir die Ableitung der Stammfunktion, die gebene Funktion \(f_s\),
\begin
F'(t)=t^2-2t\stackrel<=>0 \Rightarrow t_1=0 \not\in [1;2], \quad t_2=2 \
\end

Der niedrigste Wasserstand liegt bei t=2 Minuten und die Wassermenge beträgt ungefähr 1,67\(m^3\).

Beispiel 2

Bestimme folgende Integrale:
\begin
&a) \int_0^2 x^2+2x-3 \\
&b) \int_<-1>^1 x^3 \\
&c) \int_0^1 e^x \\
&d) \int_<-1>^2 e^<2x>+x \\
\end

Lösung Beispiel 2
\begin
&a) \int_0^2 x^2+2x-3 \ \textrmx=\left[ \frac<1><3>x^3+x^2-3x \right]_0^2 = \frac<2> <3>\\
&b) \int_<-1>^1 x^3 \ \textrmx=\left[ \frac<1><4>x^4 \right]_<-1>^1 = 0 \\
&c) \int_0^1 e^x \ \textrmx=\left[ e^x \right]_0^1 = e-1 \\
&d) \int_<-1>^2 e^<2x>+x \ \textrmx=\left[ \frac<1><2>e^<2x>+\frac<1> <2>x^2 \right]_<-1>^2 \approx 28,73 \\
\end

Integralrechnung – Bestimmung von Flächeninhalten

Die Integralrechnung kann zur Berechnung von Flächeninhalten verwendet werden. Wenn Grenzwerte gegeben sind, liegt ein bestimmtes Integral vor. Im Folgenden werden wir euch Beispiele zu verschiedenen Problemstellungen zeigen.

Schaut euch unbedingt die Einführung zur Bestimmung von Flächeninhalten an!

Berechnung der Fläche zwischen Graph und x-Achse mit Hilfe der Integralrechnung

Vorgehen:

  • Bestimme die Nullstellen um die Grenzen zu erhalten.
  • Ist die Fläche stets oberhalb der x-Achse kannst du ganz normal das Integral berechnen.

Merke: Wenn die Funktion im zu berechnendem Intervall einen Vorzeichenwechsel hat, ist ein Teil der Fläche unterhalb der x-Achse und eine Fläche oberhalb \(x\)-Achse. Die Fläche unterhalb der x-Achse muss dann im Betrag genommen werden.

Lösung Beispiel 1
Es folgt für die Fläche:

\begin
\int\limits_2^5 -x^2+7x-10\ \textrmx &= \left[ -\frac<3>+\frac<7x^2><2>-10x \right]_2^5 \\
&= \left( -\frac<5^3> <3>+ \frac<7 \cdot 5^2><2>-10 \cdot 5 \right) – \left( -\frac<2^3> <3>+ \frac<7 \cdot 2^2> <2>– 10 \cdot 2 \right) \\
&= 4,5 \ [\textrm]
\end

Beispiel 2
Bestimme die Fläche, welche vom Graphen der Funktion \(f(x)=-0,5x^2+3x-2,5\) und der x-Achse eingeschlossen wird.

Lösung Beispiel 2
Zuerst setzen wir die Funktion „gleich 0“ und erhalten durch gekonntes Rechnen die Nullsten \(x_1=1\) und \(x_2=5\). Anschließend folgt die Berechnung der Flächeninhalte:

Beispiel 3
Bestimme die Fläche, welche vom Graphen der Funktion \(f(x)=0,5x^3-x^2-4x\) und der x-Achse eingeschlossen wird.

Lösung Beispiel 3
Wir gehen genauso wie im vorherigen Beispiel vor und bestimmen zunächst die Nullstellen der Funktion.
Nullstellen: \(x_1=-2, x_2=0\) und \(x_3=4\). Es folgt für den Flächeninhalt:

Beispiel 4
In der nachfolgenden Abbildung soll die Fläche einer Funktion f(x) im Intervall [2,4] bestimmt werden.

Beispiel 4
Der Ausdruck \(\int_2^4 f(x)\ \textrmx = -6\) gibt hierbei nicht den gesuchten Flächeninhalt an, sondern den Integralwert!
Aus diesem Grund ist die Berechnung der Nullstellen wichtig. Da eine Nullstelle bei x=2,5 vorliegt, also innerhalb unserer Integrationsgrenzen, gibt es einen Vorzeichenwechsel und ein Teil des Graphen muss unterhalb der x-Achse liegen.

Tipp: Teilfläche von unterer Grenze zu Nullstelle \(A_1\) und von Nullstelle zu oberer Grenze \(A_2\) berechnen. Es folgt mit

\begin
A_1 = \int_2^ <2,5>f(x) \ \textrmx = 1\ [\textrm] \quad \textrm \quad
A_2 = \int_<2,5>^4 f(x) \ \textrmx = |-7| = 7\ [\textrm]
\end

der gesuchte Flächeninhalt \(A_ = A_1 + A_2 = 8\) [FE].

Beispiel 5
Bestimme für die Funktion \(f(x)=-x^3+6x^2-8x\) den Flächeninhalt zwischen dem Graph der Funktion f(x) und der x-Achse im vorgegebenen Intervall I=[1,3].

Lösung Beispiel 5
Zuerst müssen wir die Nullstellen der Funktion bestimmen. Diese lauten \(x_1\)=0, \(x_2\)=2 und \(x_3\)=4.
WICHTIG! Wie bei genauerem Hinsehen zu erkennen ist, befindet sich die Nullstelle \(x_3\) nicht in dem Intevall I. Somit ergibt sich folgende Rechnung:

\begin
&A=\left\lvert \int_1^2 \ -x^3+6x^2-8x \ \textrmx \right\rvert + \left\lvert \int_2^3 \ -x^3+6x^2-8x \ \textrmx \right\rvert \\
&=\left\lvert \Bigg[-\frac<1><4>x^4+2x^3-4x^2\bigg]_1^2 \right\rvert + \left\lvert \Bigg[-\frac<1><4>x^4+2x^3-4x^2\bigg]_2^3 \right\rvert \\
&=\left\lvert -\frac<7> <4>\right\rvert + \left\lvert \frac<7> <4>\right\rvert = \frac<7> <2>\textrm<[FE]>
\end

Fläche zwischen zwei sich schneidenden Graphen berechnen

Wenn f und g zwei Funktionen sind, die auf dem Intervall [a; b] stetig sind und \(f(x) \ge g(x)\) für alle x in [a; b],
dann ist die Fläche, die von beiden Funktionen eingeschlossen wird

Beispiel 1
Bestimme den Flächeninhalt, der von den Funktionen

Lösung Beispiel 1
Hierfür benötigen wir zunächst die Schnittpunkte der beiden Funktionen.

Dazu setzen wir beide Funktionen gleich und erhalten

Nun haben wir alle Informationen um die Fläche zwischen den beiden Graphen durch folgendes Integral zu berechnen:

Zu beachten: Wenn sich zwei Graphen schneiden, wird ab dem Schnittpunkt aus der oberen Funktion die untere. Man würde nun einen negativen Flächeninhalt herausbekommen, also müssen Betragsstriche gesetzt werden.

Vorgehen:

  1. Schnittstellen finden
  2. Teilintegrale aufstellen und Betragsstriche setzen.

Dann weiter vorgehen wie in dem Beispiel zuvor.

Beispiel 2
Bestimme den Flächeninhalt zwischen den Graphen von f(x) und g(x).

Lösung zu 2a)

Schnittpunkte von f und g: \(x_1\)=0, \(x_2\)=2 und \(x_3\)=3,5. Es folgt für den Flächeninhalt:

\begin
A&= \left| \int_0^2 f(x)-g(x) \ \textrmx \right| + \left| \int_<2>^ <3,5>f(x)-g(x) \ \textrmx \right| \\
&= \left| \int_0^2 x^3-5,5x^2+7x \ \textrmx \right| + \left| \int_<2>^ <3,5>x^3-5,5x^2+7x \ \textrmx \right| \\
&= \left| \left[ \frac<1><4>x^4-\frac<11><6>x^3+\frac<7><2>x^2 \right]_0^2 \right|+ \left| \left[ \frac<1><4>x^4-\frac<11><6>x^3+\frac<7><2>x^2 \right]_<2>^ <3,5>\right| \\
&= \left| \frac<10> <3>\right|+\left| -\frac<99> <64>\right| \approx 4,88 \ [\textrm]
\end

Lösung zu 2b):

Schnittpunkte von f und g: \(x_1=-2\), \(x_2=-1\), \(x_3=1\) und \(x_4=2\). Es folgt für den Flächeninhalt:

\begin
A&= \left| \int_<-2>^ <-1>f(x)-g(x) \ \textrmx \right| + \left| \int_<-1>^ <1>f(x)-g(x) \ \textrmx \right| + \left| \int_<1>^ <2>f(x)-g(x) \ \textrmx \right| \\
&= \left| \int_<-2>^ <-1>x^4-5x^2+4 \ \textrmx \right| + \left| \int_<-1>^ <1>x^4-5x^2+4 \ \textrmx \right| + \left| \int_<1>^ <2>x^4-5x^2+4 \ \textrmx \right| \\
&= \left| \left[ \frac<1><5>x^5-\frac<5><3>x^3+4x \right]_<-2>^ <-1>\right|+ \left| \left[\frac<1><5>x^5-\frac<5><3>x^3+4x \right]_<-1>^ <1>\right| + \left| \left[\frac<1><5>x^5-\frac<5><3>x^3+4x \right]_<1>^ <2>\right| \\
&= \left| -\frac<22> <15>\right|+\left| \frac<76> <15>\right| +\left| -\frac<22> <15>\right| =8 \ [\textrm]
\end

Partielle Integration

Die partielle Integration, auch Produktintegration genannt, ist in der Integralrechnung eine Möglichkeit zur Berechnung bestimmter Integrale und zur Bestimmung von Stammfunktionen.
Sie ist quasi das Gegenstück zur Produktregel beim Ableiten.

\begin
&\int_a^b u(x) \cdot v'(x) \ \textrm x= \left[ u(x) \cdot v(x) \right]_a^b – \int_a^b u'(x) \cdot v(x) \ \textrm x
\end

Die partielle Integration wird stets bei einem Produkt zweier Funktionen angewendet, wobei von einem Faktor die Stammfunktion bekannt ist (v'(x)) und man die Hoffnung hat, dass durch die Ableitung des anderen Faktors (u(x)) das Integral einfacher wird.

Warum heißt es eigentlich partielle Integration? Weil ein Teil des Ingetrals \(\left[ u(x) \cdot v(x) \right]_a^b\) gelöst wird und der andere Teil noch ein Integral \(\int_a^b u'(x) \cdot v(x) \ \textrm x\) beinhaltet. Die Schwierigkeit ist es zu entscheiden, welcher Teil u(x) ist und welcher v'(x). Unter Umständen kann es nämlich sein, dass das Integral bei falscher Wahl nicht zu lösen ist. Die Frage die wir uns stellen müssen: Die Ableitung welches Faktors vereinfacht das Integral?

Allgemeines Vorgehen:

  1. Überlegung: Die Ableitung welchen Faktors vereinfacht das Integral? Danach u(x) und v'(x) festlegen.
  2. Ableitung u'(x) bestimmen.
  3. Stammfunktion v(x) bestimmen.
  4. Ergebnisse in Formel einsetzen.

Beispiel 1
Bestimme das Integral der Funktion \(f(x)=x\cdot e^x\) in den Grenzen [0;2].

Lösung Beispiel 1
Zunächst schreiben wir auf, was wir machen sollen. Das Integral soll schließlich gebildet werden.

\begin
\int_0^2 \left(x\cdot e^x \right) \ \textrm x = ?
\end

Doch an dieser Stelle kommen wir mit unseren einfachen Methoden zur Bildung der Stammfunktion nicht weiter. Die Funktion f(x) ist nämlich ein Produkt der beiden Funktionen x und \(e^x\). Wir wenden also die partielle Integration an, um die Aufgabe zu lösen. Dafür gehen wir die obigen Schritte aus dem Vorgehen ab. 1. Wir überlegen: Die Ableitung welchen Faktors vereinfacht das Integral? Die Ableitung von x ist 1. Die Ableitung von \(e^x\) ist \(e^x\).
Da \(e^x\) auch einfach integrierbar ist folgt:

\begin
&u(x)=x \longrightarrow u'(x)=1 \quad \textrm \quad v'(x)=e^x \longrightarrow v(x)=e^x \\
&\Rightarrow \int_0^2 \left(x\cdot e^x \right) \ \textrm x = [x\cdot e^x]_0^2 – \int_0^2 (1\cdot e^x) \ \textrmx = [x\cdot e^x]_0^2 -[e^x]_0^2 = e^2 +1
\end

Tipp: Wenn die Aufgabe nicht lösbar ist mit der Wahl von u und v‘, sollte man diese gegeneinander austauschen und erneut probieren. Manchmal hilft zweimaliges partielles Integrieren und Umsortieren. Generell werden Potenzen \(x^n\) oder Umkehrfunktionen wie \(\ln(x)\) oder \(\arcsin(x)\) durch Ableiten einfacher und Funktionen wie \(e^x\) oder \(\sin(x)\) durch Integrieren nicht komplizierter.

Beispiel 2
Bestimme eine Stammfunktion von der Funktion f mit Hilfe der partiellen Integration.

Lösungen Beispiel 2
\begin
a)
&\int \underbrace<2x>_u \cdot \underbrace_ \ \textrmx \\ \\
&= 2xe^x- \int 2e^x \ \textrmx \\ \\
&= 2xe^x- 2e^x \\ \\
&= e^x (2x-2)
\end

\begin
d)
&\int \underbrace<1>_ \cdot \underbrace<\ln(x)>_ \ \textrmx \\ \\
&= x\ln(x)- \int x\cdot \frac<1> \ \textrmx \\ \\
&= x\ln(x)- \int 1 \ \textrmx \\ \\
&= x\ln(x)-x
\end

Vertiefe dein Wissen mit dem Lernvideo zu partielle Integration

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